孪生结构的定义是设(m, w)是一个辛流形，l1和l2是两个拉格朗日子流形。
如果存在一个辛同胚φ: m→m，使得φ(l1)=l2，且φ^2=id，则称(l1, l2)构成一个孪生结构。
现在，把x看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。
那么，孪生素数对(p, p+2)对应於一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联繫。
这个辛同胚是什么？
肖宿放下笔沉思了会儿。
在数轴上，从p到p+2是一个平移。
在x中，这个平移应该对应於一个变换t，它在每个p进分量上的作用是t(x) = x + 2。
t是一个辛同胚吗？在顾—辛框架的辛结构中，平移確实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。
所以t是辛同胚。
那么t^2就是平移4，不是恆等映射。
所以不满足φ^2=id的条件。
也许不是要求φ^2=id，而是要求φ和某个对合变换的复合是id？
肖宿继续思考。
设s是某个对合变换，比如s(x) = —x。那么如果t°s是id，则t = s。
这不可能。
如果s°t°s = t^{—1}？
这有点像辛几何中的某种对偶关係。
也许这就是关键。
肖宿开始重新表述问题。
在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恆量、层次结构指数、可计算性度量。
对於x这个特殊的辛流形，它的旋转守恆量应该与素数分布有关。
如果我能够证明，在x中，由孪生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恆量，那么这个守恆量的存在就会强制要求孪生素数有无穷多对，就像角动量守恆强制要求旋转体不能停止一样。
这个想法让肖宿眼前一亮。
他继续在纸上推导起来。
第一步就是构造x上的辛形式。
这需要用到顾—辛框架中的標准方法，通过对每个p进分量赋予一个权重，然后取某种直和。
具体来说，设w_p是第p个分量上的標准辛形式，在p进数域上，辛形式可以定义为w_p(x,y) = |xy xy|_p，但需要適当正规化。
然后定义总辛形式为Ω = Σ λ_p w_p，其中λ_p是权重係数。
权重係数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，並且使得平移变换保持Ω。
肖宿尝试设λ_p = 1/(p log p)。
这样Σ λ_p收敛，因为Σ 1/(p log p)发散？
不，Σ 1/(p log p)是发散的，积分∫ dx/(x log x)发散。
所以需要衰减得更快。
λ_p = 1/(p (log p)^2)？
这个级数收敛，因为∫ dx/(x (log x)^2)收敛。
好，就用这个。
第二步是定义孪生结构。
设l_p是x中对应於素数p的点，即第p个分量为p，其他分量为0的嵌入像。
那么对於孪生素数对(p, p+2)，我们有一对点(l_p, l_{p+2})。
现在考虑变换t: x → x + 2。
这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。
考虑对合变换s: x → —x。
s也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。
那么s°t是一个变换，它把x映到 —x—2。
这个变换的平方是？
(s°t)^2 = s°t°s°t = s°(t°s°t)。t°s°t把x映到 t°s(t(x)) = t°s(x+2) = t(—x—2) = —x。
所以t°s°t = —id。
因此(s°t)^2 = s°(—id) = —s。
这不是恆等映射。
有点乱。
肖宿意识到，可能还需要更系统的分析。